建于1950-1980年代的斯德哥尔摩地铁线路全长108公里，被称为国际上最长的艺术长廊，由150位艺术家打造而成。许多地铁站都与地上景象照应，规划了不同的艺术主题。铁轨上奔驰而过的列车，恰似带领人们从古希腊的柏拉图到近代的爱因斯坦，进行一场穿越2000多年物理时空的游览。
其间的KTH皇家理工学院站于1973年9月30日完工剪彩，由瑞典闻名规划师和艺术家Lennart Mrk掌管规划。地铁站以“元素与天然法则”为主题，是一个数学物理开展前史的迷你博物馆。这个地铁站与附近的Stadion斯德哥尔摩体育场站同享了1973年瑞典修建协会的Salin年度大奖，该奖由瑞典修建师Kasper Salin捐献，从1962年起颁布，1973年是迄今仅有一次奖赏给地铁站台规划。
图1. 自左至右，自上至下别离为：1.1柏拉图，1.2达芬奇，1.3哥白尼，1.4开普勒，1.5笛卡尔，1.6牛顿，1.7普尔海姆，1.8麦克斯韦，1.9爱因斯坦
古希腊人最早把对国际的知道与宗教观念切割开来，并力求树立一个一致的国际模型去说明天体的杂乱运动，“希腊三贤”之一柏拉图 (Plato，前429-前347年，图1.1) 的正多面体国际结构模型便是其间的一种。正多面体是由正多边形构成、各顶角持平、各棱边持平的凸多面体，具有高度对称性和次序感。因柏拉图及其追随者的研讨，正多面体得到了“柏拉图立体”的别称。
在晚期著作《蒂迈欧篇》中，柏拉图描写了通过这些正多面体的几许调和组成的国际图景。他将公元前七世纪爱奥尼亚学派的原子论与公元前六世纪毕达哥拉斯学派“万物皆数”的数学天然观相结合，将四个正多面体对应于古典四元素：正四面体代表穿透力最强的火元素；正六面体代表最安定的土元素；正八面体代表顺滑的气元素；正二十面体代表柔软的水元素。并将不同的物理特点赋予这些正多面体，以此说明火土气水诸元素甚至人间万物的生成与改变。
柏拉图在《蒂迈欧篇》中还说到奥妙的第五个正立方体，作为他心目中的国际模型。柏拉图写道：“关于剩余的第五种复合图形，天主用它来代表悉数，并给它绣上精巧的图画。”后来他的学生亚里士多德添加了神性元素“以太” (aether)，这一概念在之后2000多年的物理观念演化进程中起到了至关重要的效果。
正多面体的作法收录在公元前300年左右欧几里得编撰的《几许本来》第13卷中，他在书中证明晰总共只要五个正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。尽管柏拉图和亚里士多德都没有清晰说到正十二面体，但后人很天然地将其与国际模型和以太联系到一同。正十二面体的每个面均为正五边形，处处都有黄金切割率的影子。KTH地铁站台中心就悬挂着一个正十二面体，站台四角则是别的四个正多面体。
图2. KTH地铁站台的正多面体（点击看大图）
在走过中世纪的千年漆黑之后，14-17世纪的欧洲发生了一场巨大的思维文明运动，即文艺复兴。科学与艺术交融在一同，构成了人文主义的国际观和思维系统，其完美代表是文艺复兴三杰之一、意大利百科全书式的人物列奥纳多·达·芬奇 (Leonardo da Vinci，1452-1519；图1.2，自画像)。达·芬奇最令人瞩意图是绘画上的效果，以《蒙娜丽莎》和《最终的晚餐》闻名于世，一起他在机械、军事、修建、数学、物理、医学等许多范畴都取得了创造性效果。在其私家笔记和手绘稿中，达·芬奇提出了光的折射概念及重力学原理，预见了后来哥白尼创立的日心说，还从水流入碗的进程研讨涡旋的构成。达·芬奇写道：太阳构成元素的运动、发生国际的热，太阳的消失构成漆黑和冰冷；月亮遭到太阳照亮，本身不发光，咱们看到的仅仅月亮对着咱们的被太阳照亮的一面；地球很像月亮，是一颗星。
达·芬奇非常痴迷于飞翔现象，坚信人类能够仿照鸟类在天空飞翔。他对鸟类飞翔进行了具体研讨，系统探究人类飞翔的或许性，还规划了一些飞翔器。KTH地铁站台上悬挂和制作了巨大的鸟类翅膀模型以及他的规划草图。达·芬奇说明空气动力学常识能够通过水动力学研讨直接取得，比其他人探究类似问题抢先几百年。他在手稿本中这样写道：“物体对空气的阻力与空气对物体的阻力相同大。你会看到一只巨鹰的翅膀置身于最高和最稀有的气体中，非常挨近元素之火。你会看到空气在海面上移动，充满了帆船并推进着沉重的船。依据这些比如及有说服力的理由，假如一个人有足够大的机翼并学会战胜空气阻力，他就能够降服阻力并升起。”
图3. KTH地铁站台展现的达芬奇规划的鸟类翅膀模型和规划草图（点击看大图）
文艺复兴见证了“日心说”从创始走向昌盛的进程。波兰数学家和地理学家尼古拉·哥白尼 (Nicolaus Copernicus，1473-1543，图1.3) 深受古希腊前贤的影响，信任国际结构取决于单纯调和的数学联系。他逝世前在著作《天体运转论》中指出，地球是和五大行星相同环绕太阳这个不变的中心作匀速圆周运动的一般行星，其本身又绕地轴自转。
日心说引起了人类国际观的严重革新，将天然科学从神学中解放出来，标志着榜初次科学革新的开端。德国地理学家约翰内斯·开普勒 (Johannes Kepler，1571-1630，图1.4) 是哥白尼学说的忠诚信徒，在柏拉图国际模型启示下，他在1596年的著作《国际的奧秘》中，从最简略的正六面体开端，依照正四面体、正十二面体、正二十面体、正八面体的从内向外的次序，运用每个正多面体的外接和内切球面，顺次界说了土星、木星、火星、地球、金星的轨迹球面。
在1609年的著作《新地理学》及1618年出书的《国际的调和》中，开普勒收拾剖析了丹麦地理学家第谷长达20年的地理观测数据，发现了与哥白尼系统的误差，然后提出了“开普勒三规则”，即，行星沿着以太阳为一个焦点的椭圆轨迹运动，行星与太阳的连线在相同的时刻内扫过相同的面积，行星公转周期的平方与其轨迹半长轴的三次方成正比。
1632年，意大利物理学家、数学家、地理学家及哲学家伽利略·伽利莱的《关于托勒密和哥白尼两大国际系统的对话》一书面世，被以为是这次科学革新的转折点，由希腊与罗马年代旧有科学常识的复兴转为现代科学的鼓起。图4上是站台西端的日心说模型，铭牌上是哥白尼在《天体运转论》中的七条假说及开普勒的行星运动三规则，右下图是开普勒的行星运动模型。
图4. （上）KTH地铁站台上的日心说模型；（右下）行星运动模型（点击看大图）
站台主体修建的布景是近代榜首个物理地理学系统，即17世纪法国哲学家、数学家和物理学家勒内·笛卡尔 (René Descartes，1596-1650；图1.5，弗兰斯·哈尔斯作) 的涡旋国际论模型。笛卡尔是二元论唯心主义与欧陆理性主义的代表、西方现代哲学的奠基人，他以为人类应该能够运用理性的数学办法来进行哲学考虑，其名言是：“我思，故我在。”笛卡尔曾将人类的悉数常识比作一棵大树，树根是形而上学、树干是物理学、树枝是其他科学，他的首要哲学著作包含《办法论》、《几许学》、《形而上学的深思》 和《哲学原理》等。笛卡尔对数学最重要的奉献是成功地将代数与几许学整合，创立了以自己姓名命名的平面直角坐标系，因而被以为是解析几许之父，为牛顿和莱布尼兹在微积分学的作业供给了坚实的根底。
笛卡尔依据亚里士多德的以太学说在《哲学原理》中提出了涡旋国际论，最早赋予以太一种力学性质。他以为国际是均质无中心无鸿沟的，全部物体都由平等的微粒构成，原初物质在混沌状态下由匀速直线运动过渡为涡旋运动，在这种旋风式的运动中分解结合而出产万事万物，笛卡尔把行星的圆周运动、重物的下落都归之于旋涡招引的效果。站台的一个铭牌上借用了英国大文豪威廉·莎士比亚在1602年创造的悲喜剧《特洛勒斯与克瑞西达》中的一段台词，用来描述笛卡尔的涡旋理论，其粗心是：当行星开端在船队周围徜徉时，看看会发生什么吧！瘟疫迸发，飓风吼怒，全部通通粉粹，海水将地球一口吞噬。图5中的左上图是1973年Salin年度大奖的标牌，右上图和下图是涡旋国际论模型。
图5. （左上）KTH地铁站台上Salin1973年度大奖标牌；（右上、下）涡旋国际论模型（点击看大图）
笛卡尔与斯德哥尔摩有着不解之缘，1649年秋天，他承受瑞典克里斯蒂娜女王之邀，前来担任女王的私家教师。克里斯蒂娜 (Kristina Alexandra，1626-1689) 是1632-1654年间的瑞典女王，她的曾祖父Gustav Vasa是16世纪瑞典王国瓦萨王朝的开国君主，并建立基督教新教路德宗为国教；她的父亲Gustav II Adolf是瑞典史上仅有被国会尊为“大帝”的君主，于欧洲三十年战役的吕岑会战中阵亡。克里斯蒂娜女王被以为是17世纪最博古通今的女人，有“北方才智女神”之誉。她对宗教、哲学、数学与炼金术均非常感兴趣，招引了许多想使斯德哥尔摩成为“北方雅典”的科学家，其间包含笛卡尔。克里斯蒂娜年轻时隐秘改信罗马天主教，是对立宗教改革的重要人物，她于1654年6月5日退位，后来正式皈依天主教并移居罗马。
多年来，坊间盛传笛卡尔与女王之间的一段"浪漫"故事，并称笛大叔在给女王的一封“情书”中，写下了表明心形曲线的极坐标方程式 r=a(1-sinθ)。其实这是和“诺贝尔绯闻情敌”相同的大乌龙，女王对异性并不感兴趣，她在自传中写道自己“对婚姻感到无比讨厌”。更重要的是，尽管笛卡尔创立了直角坐标系，但瑞士数学家雅各布·贝努利于1691年宣告了一篇基本上是关于极坐标的文章，因而通常被以为是极坐标系的发现者。史上最早运用极坐标来确认平面上点的方位的是牛顿，而三角函数的符号则是1707年出世的瑞士数学家欧拉引进的。图6为法国画家杜梅尼尔于1710年创造的《笛卡尔与瑞典克里斯蒂娜女王对话》 ，现藏巴黎凡尔赛宫。这是画家为凡尔赛宫竣工创造的致贺油画，可谓人间最“凡尔赛”的一张画。画面以王宫客厅为布景，右下方站立的笛卡尔手指桌面，为坐在桌旁的女王解说直角坐标系，廷臣们或站或坐，尽心倾听。
图6. 凡尔赛宫的油画《笛卡尔与瑞典克里斯蒂娜女王对话》（来历：网络）（点击看大图）
笛卡尔在斯德哥尔摩这片“熊、冰雪与岩石的土地”上住了不久，即于1650年2月逝世，终年不满54岁。他的死因至今错综复杂，比较公认的说法是他不适应北欧的冰冷气候和女王的作息时刻，因而得了肺炎。笛卡尔的宗教崇奉在学术界一向存在争议，他宣称自己是忠诚的罗马天主教徒，“深思”的意图是为了保护基督教崇奉。他一向企图在宗教与科学、理性和崇奉的问题上寻觅一种退让办法，但是在那个年代，他被指控为宣传隐秘的天然神论和无神论崇奉。笛卡尔是与女王保持联系的仅有的天主教徒，因而另一种说法是，一位瑞典当地的天主教神父生怕他的急进宗教观念对女王发生影响，所以将其毒死。理论上三维空间中的恣意一点都可作为直角坐标系的原点，而笛卡尔生命的结尾却是固定的，即图7（左）中坐落斯德哥尔摩老城的这座房子。
图7. （左）斯德哥尔摩老城，笛卡尔病故之所；（右）笛卡尔留念碑及雕塑（点击看大图）
作为一名逝于新教国家的天主教徒，笛卡尔被暂时安葬在一个首要用于掩埋受洗前夭亡的婴儿墓地里，17年后他的遗体移葬巴黎。100多年之后，在笛卡尔开始的埋骨之地上建起了以时任瑞典国王Adolf Fredrik姓名命名的教堂，教堂内悬挂着其时的瑞典王太子、后来的国王古斯塔夫三世（Gustav III）于1770年建立、由雕塑家Johan Tobias Sergel创造的笛卡尔留念碑。留念碑的下方雕塑是一位有翅膀的天才，左手持火炬，右手揭开地球上的掩盖物，表明将真理从谎言中解放出来 (图7右)。故事到这儿还没有完毕，1667年，笛卡尔的遗体运回巴黎时，因为棺木狭小，头骨被留了下来，最终不知所终。直到19世纪初，瑞典闻名化学家Jns Jacob Berzelius在斯德哥尔摩的一家拍卖即将笛卡尔的头骨购回，现存巴黎夏乐宫人类学博物馆。
南站台顶部悬挂着一个巨大的苹果 (图8左)，源自牛顿被自家庄园的苹果激起构思，然后发现重力学说的故事。不管其真实性怎么，英国物理学家、数学家、地理学家和天然哲学家艾萨克·牛顿 (Isaac Newton，1643-1727；图1.6，戈弗雷·内勒作) 在他最重要的著作《天然哲学之数学原理》 (简称《原理》) 中论述并证明晰三大运动规则及万有引力规则，展现了地上物体与天体运动都遵从的相同天然规则，消除了人间对“日心说”的最终一丝疑虑，点着了人类知道国际科学的曙光。18世纪英国的巨大诗人亚历山大·蒲柏为牛顿编撰了墓志铭：“Nature and Nature's law lay hid in night; God said, 'Let Newton be', and all was light。”北京大学朱照宣先生在《牛顿原理三百年祭》一文中将这段话译为：“道法天然，久藏玄冥；天然生成牛顿，万物生明。”
图8. （左）KTH地铁站台上悬挂的巨大苹果；（右）《天然哲学之数学原理》拉丁文首版扉页（点击看大图）
在近代科学诞生的进程中，笛卡尔和牛顿各自开展出了不同的国际图景。笛卡尔的涡旋国际理论是牛顿力学系统构成之前欧洲地理学的重要思维效果；牛顿在《原理》中证明晰在均匀介质的涡旋中，物体的运动不或许恪守开普勒三规则，从而得出定论：行星不是由物质涡旋带动的。直到18世纪中叶，牛顿系统才在这场论争中取得彻底优势，以至于今天现已很少有人知晓笛卡尔的涡旋国际理论了。
图8（右）是乌普萨拉大学（Uppsala University）Carolina Rediviva图书馆的镇馆之宝——1687年拉丁文首版《原理》，该书最早的主人是牛顿的一起代科学家、该校数学和地理学教授Petrus Elvius，扉页右下角是他的签名及年份，后由Carolina Rediviva图书馆保藏，直到1960年代失窃。这本书在欧美被屡次转卖，2004年在纽约克里斯蒂拍卖行最终一次出面。2008年末，买主决定将原书捐献给Carolina Rediviva图书馆，这本书总算在漂泊了40多之年后物归原主。
瑞典科学家、创造家和实业家克里斯托弗·普尔海姆 (Christopher Polhem，1661-1751，图1.7) 被称为“瑞典力学之父”，终身中有许多力学和机械创造。普尔海姆年轻时曾在乌普萨拉大学学习物理学、数学和力学，并于1697年兴办了瑞典榜首所工程师学校——力学试验室。他创造了一套机械字母表，开始由79个木制模型组成，展现了不同运动之间的转换规则，其间包含普尔海姆结 (即万向接头)、各种轴承、凸轮组织、货架的确定组织等。站台东端展现着普尔海姆机械字母表以及麦克斯韦电磁场力线图 (图9上)。机械字母表自创立以来便是力学试验室根底机械教育运用的教具，直到后来皇家理工学院还在沿袭。普尔海姆还编撰了榜首本瑞典文的代数学著作，他的半身像被印在1989-2017年间运用的瑞典500克朗面值纸币上。
图9. （上）普尔海姆机械字母表以及麦克斯韦电磁场力线图 ；（右下）麦克斯韦方程组（点击看大图）
牛顿理论尽管正确地给出了万有引力的定量表达式，却没有说明引力传递进程，而且这条规则与时刻无关。19世纪上半叶，迈克尔·法拉第发现了电磁感应现象，从而推导进场的观念。苏格兰数学物理学家詹姆斯·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell，1831-1879，图1.8) 用八个数学方程式概括了电磁场的概念，树立了完好的电磁场理论系统，科学地预言了电磁波的存在，1887年赫兹用试验证明了这一预言。电磁场理论提醒了光、电、磁现象的内在联系及一致性，完成了物理学的又一次大归纳，并为20世纪狭义相对论和量子力学的开展奠定了理论根底。1884年奧利弗·黑维塞将麦克斯韦方程组的原始方式修改成现在通用的四个对称方程的方式，在站台北侧能够发现这组美丽的方程式 (图9右下)。
17世纪以来，牛顿力学推进的一系列技术革新引起了从手工劳动向动力机器出产改变的严重腾跃。1794年，欧洲榜首所工科大学——巴黎高级理工学院建立，19世纪初各国纷繁仿效巴黎高工的方式办学。一起期瑞典进入工业化年代，普尔海姆兴办的力学试验室通过逐年开展、几回易名，于1827年在其根底上建立了瑞典最早也是至今规划最大的工科大学——皇家理工学院KTH（Kungliga Tekniska hgskolan），最早的两个专业是机械和化学。瑞典全国约三分之一的工程师都出自这所学府，故KTH可算是瑞典工程师的摇篮。KTH现在的主学校建于1917年，是一片民族浪漫主义的红砖修建，在图10（下）的高塔上能够俯视斯德哥尔摩全城。
图10. KTH学校（点击看大图）
图10中左上图的半圆形拱门通往大学主修建，门楣浮雕是瑞典闻名雕塑家卡尔·米勒斯的著作，表现人类与火、土、气、水四种元素的反抗，这一浮雕与地铁站台的正多面体（图2下）上下照应。右上图是学校里米勒斯的另一著作——青铜喷泉雕塑"工业留念碑"， 表达了对瑞典工业化的礼赞。其规划构思源自古希腊的饮用器皿，这个大碗碗壁上的浮雕是古希腊神化故事中的阿玛宗女杰及逐猎半人马的野狗，基座上是木匠、铁匠、成衣、鞋匠众雕像，凸显工匠精力。依据米勒斯的说法，大碗标志水利发电，有水从下方三个孔流出。而这一构思好像不为世人了解，百余年来大众们给它起了不少外号，如"汤盆" "蘑菇碗" "米勒斯的痰盂"等，其实在汉语语境里，便是一个青铜大鼎。
20世纪初，阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955，图1.9) 创立了相对论，他将引力场诠释成“时空曲折”效应，推行了经典的牛顿万有引力规则，一致了时空和引力。他在《广义相对论》一书中预言了三个物理现象：星光曲折、引力波、黑洞天体，后来都逐个得到验证。引力波是一种以光速传达的时空涟漪，存在于整个国际，爱因斯坦以为引力波或许难以被探测到。直到2015年9月14日，13亿光年之遥的双中子星兼并发生的引力波跨过绵长时空抵达地球，被坐落美国的“激光干与引力波地理台”LIGO探测器捕获。这是人类初次观测到国际中的引力波现象，取得了时空搅扰的直接依据，填补了广义相对论试验验证中最终一块“拼图”，三名美国科学家——Rainer Weiss、Barry C. Barish和Kip S. Thorne因而同享了2017年诺贝尔物理学奖。
黑洞是国际中时空曲率强壮到连光线都无法逃逸的物体，或许说是一个无底的重力坟墓。2019年4月10日，人类前史上首张黑洞相片发布。英国数学家Roger Penrose因证明黑洞是广义相对论的直接效果，德国物理学家Reinhard Genzel和美国物理学家Andrea Mia Ghez因在银河系中心发现超大质量天体，三人同享2020年诺贝尔物理学奖。1963年Penrose的原创论文只要三页，数学的存在性定理关于物理学的重要性因他获奖而初次得到供认。KTH地铁站台中心悬挂的正十二面体（图11左）表明17世纪的国际模型，图11（右）是这个十二面体的投影，其间的圆圈和线条表现了行星环绕黑洞的运动规则，中心不同直径的同心圆描绘了引力场的平方反比规则；平行直线及其色彩表明在间隔黑洞很远处粒子宣告的光及其在引力场的方位；螺旋线则表明时刻的进程怎么遭到空间方位的影响。
图11. （左）KTH站台悬挂的正十二面体；（右）十二面体的投影（点击看大图）
贯穿本文的五个正多面体是“简略多面体”的特例，即与球面同胚的多面体。关于简略多面体最风趣的定理之一是欧拉公式“ V-E+F=2”，这儿V、E、F别离表明多面体的极点、棱边、面的数目。此公式最早是由笛卡尔在1635年左右发现的，并写下了一篇关于多面体理论的文章。1675年莱布尼茨在巴黎看到这份手稿，用拉丁文抄录了其间的重要部分，尔后笛卡尔的手稿丢失。莱昂哈德·欧拉在1750年独立发现、并于1752年宣告了这个公式，1809年奧古斯丁·柯西给出了榜首个严厉证明。而笛卡尔的研讨直到1860年才被发现，尔后这个方程也称为笛卡尔-欧拉公式，被后人称为拓扑学中最美公式。依据这一公式，能够推出只存在五个正多面体的定论。笛卡尔-欧拉公式界说了现代数学的一个重要分支拓扑学中的一个基本概念——欧拉示性数，它是许多几许课题中全体不变量的源泉。
受爱因斯坦关于引力波的猜测以及LIGO观测效果的启示，2017年丹麦80后女人艺术家Lea Porsager创造了大型地球艺术著作“引力涟漪”（图12），以留念2004年末在东南亚印度洋海啸中的遇难者，其间有543位瑞典游客。这件著作由斯德哥尔摩打猎南岛上许多掩盖着花朵和草皮的犬牙交错的弧形堤堰组成，形状来自Fibonacci黄金双螺旋，截面是动摇函数。著作中心的两个青铜雕塑表明量子环绕，大的一个雕塑上面镌刻着遇难者的姓名。其全体像一个迷宫，将引发海啸的地震波与国际中的引力波结合在一同，表现了人类的软弱以及关于咱们生计的国际的好奇心。
图12. 地球艺术著作“引力涟漪”（点击看大图）
1921年，爱因斯坦获诺贝尔物理学奖，迄今整整100年。谨以他在诺贝尔奖讲演《我的崇奉》中的一段话完毕本文：
“咱们知道到某种为咱们所不能洞悉的东西存在，感觉到那种只能以其最原始的方式为咱们所感遭到的最艰深的理性和最绚烂的美 —— 正是这种知道和这种情感构成了真实的宗教爱情；在这个意义上，而且也仅仅在这个意义上，我才是一个具有深挚宗教爱情的人。…… 我自己只求满足于生命永久的奥妙，满足于察觉现存国际的奇特结构，窥见它的片纸只字，而且以诚挚的尽力去领会在天然界中显示出来的那个理性的一部分，即便仅仅其极小的一部分，我也就称心如意了。”
注：除图1及特别指明外，文中图片均为笔者所摄。
来历：返朴
修改：荔枝
